有限数学示例

$\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 2

从 $x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x \cdot x - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 2.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3

分组因式分解。

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解题步骤 3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.1.2

把 $3$ 重写为 $1$ 加 $2$

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.1.3

运用分配律。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 3.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

要将 $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.2

要将 $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

解题步骤 5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

解题步骤 5.3.2

将 $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ 乘以 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}}$

解题步骤 5.3.3

重新排序 $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)$ 的因式。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}$ 。

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解题步骤 5.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

运用分配律。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 1) - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.1.2

运用分配律。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.1.3

运用分配律。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.2.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.2.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.3

运用分配律。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.6

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1 - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.7

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 0}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.8

将 $x^{2} - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.9

从 $x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.5.9.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.9.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.5.9.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} (1 \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)})$

解题步骤 7

将 $\frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$

解题步骤 8

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

从 $x (x - 4)$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$\frac{1}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

解题步骤 9

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $x (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

解题步骤 9.2

从 $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

解题步骤 9.3

约去公因数。

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

解题步骤 9.4

重写表达式。

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x \cdot x}$

解题步骤 11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x}$

解题步骤 12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x^{1}}$

解题步骤 13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1 + 1}}$

解题步骤 14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2}}$

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